안녕하세요 교수님!! 계량경제학 수강하구있는 경제학과 학생입니다~
다름이 아니라 통계학 부분 복습 동영상 강의 3을 보다가 의문이 들었는데
제가 너무나도 수학적인 탤런트가 없어 혼자서는 이해가 안가서... 죄송하지만 바쁘신 교수님께 질문드립니다.
다변량 표준정규분포에서 M이 rank(M)=k 인 대칭멱등행렬일 경우 Z'MZ는 자유도가 k인 카이제곱분포를 따른다....
이건 어찌저찌 이해했습니다만
이 사실을 증명하기 위해서 교수님께서 알려주신 꿀꺽사항 중 하나가 이해가 안갑니다.
질문) A가 직교행렬이면
AZ ~ N[0, I] 임을 증명하실 때
Var(AZ)= E[(AZ)(AZ)']=E(AZZ'A')=AE(ZZ')A' 까지는 알겠는데
왜 E(ZZ')=I인지 모르겠씁니다
Z는 그냥 표준정규변수 아닌가요? 그럼 Var(AZ)=A*2Var(Z)여서 그냥 A*2인거아닌가요?ㅜㅜㅜㅜㅜ
교수님께서 보시기엔 무식한 소리겠지만 저 정말 절박합니다ㅠㅠ
혹시 Z도 직교행렬이라는 전제가 있는것인지, 만약 그렇다면 왜그런 것인지 부디 알려주세요.
소중하신 시간 빼앗아 죄송합니다.ㅜㅜ
강의노트 26쪽 중간:
벡터확률변수 Z가 다변량표준정규분포(multivariate standard normal distribution)를 따른다는 것은 Z의 기대값벡터가 0 (즉 zero vector), 다시말해 E(Z)=0 이며 공분산행렬이 I인, 다시말해 E(ZZ')=I인 결합정규분포를 따른다는 의미. 이를 간략히 표현한 것이 Z~N[0, I].
그러므로 질문한 것은 어디에서 도출해서 그런 것이 아니라 처음부터 그리 주어진 것임. (그 이하에 적은 계산을 보니 벡터확률변수를 스칼라로 취급하고 있음. 그렇게 하면 한마디로 뒤죽박죽.)