교수님, 학우님들 안녕하세요
수업시간에 상관계수의 범위가 (-1=<P=<1) 인 것에 대해 코시슈와르츠 부등식을 통해 증명할 수 있다고 배웠습니다.
코시슈와르츠 부등식을 통해 증명하기 위해, 확률변수 X와 Y의 평균이 각각 0인 경우를 가정했었던 것으로 기억합니다.
그러면 상관계수가 코시슈와르츠 부등식을 이용한 형태로 간단하게 표현되지요.
그런데 X와 Y의 평균이 0이 아닌경우, 간단한 모양으로 나타나지 않습니다.
X와 Y의 평균이 0이 아닌경우에도 코시슈와르츠 부등식을 통해 증명할 수 있는건가요?
가능합니다 : ) 증명의 편의를 위해 E2(XY)=<E(X2)E(Y2)를 보이도록 하겠습니다. (이후 X와 Y에 각각 편차항을 대입하셔서 생각하시면 될 것 같습니다.)
a를 실수공간의 임의의 상수라 하고, X, Y를 각각 확률변수라고 먼저 놓겠습니다. 그러면 E[(aX-Y)2]>=0이라는 사실을 이용해서 E[(aX)2-2aXY+Y2]>=0, a2E[X2]-2aE[XY]+E[Y2]>=0임을 알 수 있습니다(기대값의 선형성). 이 때 좌변을 0보다 같거나 크게 만들도록 부등식의 판별식을 이용하면 됩니다: D=E2(XY)-E(X2)E(Y2)=<0.
혹 과정에 오류가 있으면 알려주세요ㅎㅎ