안녕하십니까 교수님.
방학중에 뜬금없는 질문으로 찾아뵙게 되어 죄송합니다.
다름이 아니라 지난 수업시간을 바탕으로 계량경제학과 금융계량경제학을 공부하던 중,
오메가로 표현되는 표본공간(Sample Space)과, (오메가,F,P)로 정의되는 확률공간(Probability Space)의 차이가 무엇인지 궁금해서 질문드립니다.
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1. 질문의 배경
학기중에는 표본공간(Sample space)을 단순하게 어떤 추상적인 확률변수(Random Variable)들이 구체적으로 실현된 공간으로 이해했는데, 확실히 잘못 이해하고 있었던 것 같았습니다. 표본공간의 정의를 찾아보니 확률실험의 결과로써 출현 가능한 대상의 총집합이고, 확률변수의 정의는 표본공간을 정의역으로 삼아 실수값을 취하는 함수였습니다.
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2. 구체적인 질문
그런데 확률변수의 정의가 표본공간을 정의역으로 삼아 실수값을 취하는 함수라면 L2 space를 정의할 때, 확률변수가 속하는 공간을 확률공간(Probability Space)으로 왜 표본공간(Space space)과 차별화를 두는지 궁금합니다.
확률공간을 구성하는 한 부분이 오메가인 것으로 보아 확률공간은 표본공간을 포괄하는 공간인 듯한데,
정의부터 시작하는 기초 수학 과목의 이해 없이 혼자 개념을 이해하기에는 제 기초가 부족한 듯 하여 교수님께 도움을 청합니다.
L2 공간을 정의할 때 L2(Omega, F, P) 라고 표현하는 것은 확률공간 (Omega, F, P)에 정의된 확률변수들로서 **second moment가 유한한** 확률변수들의 집합을 나타낸 것. 아무 추가조건이 없는 확률변수를 말하는데 필요한 최소 요건들은 확률변수가 함수이므로 정의역과 치역, 그리고 함수가 생긴 모습만 얘기하면 충분. 그러나 L2 는
**second moment가 유한한** 이라는 조건이 추가되어 있는 것이므로 moment정의에 필요한 요인들을 추가로 명시해야 함. 그 것이 (Omega, F, P) 임.